6.5.2 Analyse des résultats : analyse de la variance
3° Interprétation
L'efficacité relative du dispositif en blocs aléatoires complets par rapport à une répartition aléatoire s'obtient en première approximation par un simple rapport des carrés moyens résiduels. Cependant, cette valeur est surestimée. Pour effectuer le calcul exact basé sur les relations du paragraphe 6.3.3°, on peut partir des sommes des carrés de l'analyse de la variance précédente, ou simplement réaliser l'analyse de variance à deux critères de classification ('Objet' et 'Bloc') et appliquer les formules :
summary(aov(Rend~as.factor(Objet)*as.factor(Bloc))) |
Df Sum Sq Mean Sq as.factor(Objet) 8 9.9497 1.2437 as.factor(Bloc) 2 1.9191 0.9596 as.factor(Objet):as.factor(Bloc) 16 1.1819 0.0739 |
L'interaction se confond ici avec la composante résiduelle puisqu'il n'y a qu'une seule observation par combinaison des deux facteurs 'Objet' et 'Bloc'. Il ne reste plus qu'à calculer l'efficacité relative en tenant compte des deux modifications à apporter au calcul approché :
CMab <- 0.0739
CMr <- (1.9191+(8*3*CMab))/((9*3)-1)
correction <- ( ((9*2)+3) / ((9*2)+1) ) * ( ((8*2)+1) / ((8*2)+3) )
cat("Efficacité relative :", correction*CMr/CMab, "\n")
|
Efficacité relative : 1.900585 |
6.5.3 Analyse des résultats : régression
4° Deux facteurs considérés simultanément
La régression multiple faisant intervenir les deux facteurs, leurs carrés et leur produit a fourni les coefficients suivants :
(Intercept) P Ca I(P^2) I(Ca^2) P:Ca -0.27805 10.28307 0.24540 -16.97531 -0.01900 -0.07937 |
Détermination du rendement maximum :
En reprenant les coefficients ci-dessus, les dérivées partielles du rendement valent :
| d Rdt / d P | = | 10,28307 - 33,95062 P - 0,07937 Ca |
| d Rdt / d Ca | = | 0,24540 - 0,07937 P - 0,03800 Ca |
L'annulation simultanée de ces deux dérivées conduit à un système de deux équations à deux inconnues qui s'écrit matriciellement A X = B, où X est le vecteur inconnu de composantes P et Ca, A est la matrice des coefficients du système et B le vecteur constant :
A <- matrix(c(33.95062,0.07937,0.07937,0.038),ncol=2) B <- c(10.28307,0.24540) solve(A,B) |
[1] 0.2891980 5.8538515 |
Le rendement maximum est donc obtenu avec environ 0,29 et 5,85 tonnes d'engrais par hectare, respectivement pour le phosphore et pour le calcium.
Détermination de la fumure optimale :
En procédant de la même façon à partir de l'équation modifiée, le coefficient de P étant diminué de 3 unités (1 kg d'engrais phosphorique est "payé" par 3 kg de blé) et le coefficient de Ca de 0,1 (1 kg de chaux est "payé" par 0,1 kg de blé), on obtient en dérivant partiellement cette équation modifiée :
| d Rdt / d P | = | 7,28307 - 33,95062 P - 0,07937 Ca |
| d Rdt / d Ca | = | 0,14540 - 0,07937 P - 0,03800 Ca |
La procédure est la même que précédemment, seul le vecteur constant B change :
B <- c(7.28307,0.14540) solve(A,B) |
[1] 0.2065830 3.3948290 |
La fumure optimale est donc obtenue avec environ 0,21 et 3,39 tonnes d'engrais par hectare, respectivement pour le phosphore et pour le calcium.
5° Courbes d'isoréponse
Il est possible de représenter la surface de réponse qui correspond à l'équation de régression, dans l'espace à trois dimensions (P, Ca, Rdt), et de représenter les différents niveaux de rendement à l'aide de couleurs différentes par exemple. La fonction 'persp' permet de réaliser des graphiques en 3D. On peut associer une couleur à chaque surface élémentaire du quadrillage en définissant une matrice contenant ces couleurs. Cette matrice comporte donc une ligne (la centième) et une colonne (la centième) de moins que celle définissant les points du quadrillage.
couleur <- ifelse(z>1.9,"green",ifelse(z>1.8,"yellow", ifelse(z>1.6,"green",ifelse(z>1.4,"yellow","green"))))[-100,-100] persp(x,y,z, theta=-45, phi=45,col=couleur,xlab="Phosphore",ylab="Calcium",zlab="Rendement") |
Pour le rendement diminué des coûts de la fumure :
La procédure est exactement la même sauf que l'on travaille avec l'équation modifiée. On peut reprendre le même quadrillage que précédemment mais il faut utiliser la matrice des rendements modifiés et redéfinir la matrice des couleurs :
coul.mod <- ifelse(zz>0.7,"green",ifelse(zz>0.6,"yellow",ifelse(zz>0.4,"green","yellow")))[-100,-100] persp(x,y,zz, theta =-45,phi=45,col=coul.mod,xlab="Phosphore",ylab="Calcium",zlab="Rendement") |
Dernière mise à jour : janvier 2005